Chapter 06

음정과 협화

도와 솔을 함께 누르면 맑고, 도와 도♯을 함께 누르면 거칠게 들립니다. 피타고라스는 그 이유를 '단순한 정수비'에서 찾았고, 헬름홀츠는 '배음끼리의 맥놀이'에서, 현대 청각 과학은 '임계대역 안의 거칠기'와 '주기성'에서 찾습니다. 이 장에서는 협화(consonance)를 감상이 아니라 계산할 수 있는 양으로 다룹니다. 그리고 그 양이 악기의 음색에 따라 달라진다는 놀라운 사실을 직접 듣습니다.

음정의 이름·반음 수·순정 비율·센트를 서로 바꾸고, 단순한 정수비가 배음 일치를 뜻함을 설명한다.
맥놀이, 거칠기, 두 음 분리의 경계를 임계대역(ERB, 바크)으로 설명한다(플롬프–레벨트 1965).
세타레스 모델로 임의의 스펙트럼에 대한 불협화 곡선을 계산하고, 음색이 바뀌면 협화점이 이동함을 듣는다.
배음 일치 행렬과 화음 거칠기 순위로 '왜 장3화음이 단3화음보다 매끄러운가'를 정량적으로 따진다.
조화성(주기성) 이론과 거칠기 이론, 그리고 문화적 학습의 역할(치마네 연구)을 비교한다.

음정의 이름과 정수비

음정(Interval)은 두 음의 높이 차이입니다. 서양 음악 이론은 음정을 '몇 도'(음이름 글자 수)와 '성질'(완전·장·단·증·감)로 부릅니다. 엔지니어에게는 반음 수 $s$와 주파수비 $r$이 더 편합니다. 평균율에서는 $r = 2^{s/12}$이고, 순정률에서는 작은 정수비입니다(5장).

반음	이름	약호	순정 비율	순정 센트	평균율 − 순정	전통적 분류
0	완전 1도	P1	1:1	0	0	완전 협화
1	단 2도	m2	16:15	111.73	−11.73	불협화
2	장 2도	M2	9:8	203.91	−3.91	불협화
3	단 3도	m3	6:5	315.64	−15.64	불완전 협화
4	장 3도	M3	5:4	386.31	+13.69	불완전 협화
5	완전 4도	P4	4:3	498.04	+1.96	완전 협화(문맥 따라 불협화)
6	증4도/감5도	TT	45:32	590.22	+9.78	불협화(트라이톤)
7	완전 5도	P5	3:2	701.96	−1.96	완전 협화
8	단 6도	m6	8:5	813.69	−13.69	불완전 협화
9	장 6도	M6	5:3	884.36	+15.64	불완전 협화
10	단 7도	m7	9:5 (또는 16:9, 7:4)	1017.60	−17.60	불협화
11	장 7도	M7	15:8	1088.27	+11.73	불협화
12	완전 8도	P8	2:1	1200	0	완전 협화

음정을 거꾸로 뒤집은 것을 자리바꿈 음정(Inversion)이라 하며, 두 음정의 합은 옥타브입니다: 5도 ↔ 4도(3/2 × 4/3 = 2), 장3도 ↔ 단6도(5/4 × 8/5 = 2). 그래서 반음 수는 $s \leftrightarrow 12-s$, 센트는 $c\leftrightarrow 1200-c$로 바뀝니다.

정수비 = 배음이 겹친다

왜 '단순한 정수비'가 협화일까요? 2장에서 본 것처럼 악기 소리는 배음 $f, 2f, 3f, \dots$을 가집니다. 비율이 $p:q$(기약)인 두 음 $f_1$, $f_2 = \tfrac{p}{q}f_1$의 배음은 $p f_1 = q f_2$에서 처음 일치하고, 그 뒤로 매 $p$번째·$q$번째마다 계속 일치합니다. $p, q$가 작을수록 겹치는 배음이 많고, 겹치지 않는 배음끼리의 간격도 넓습니다. 반대로 비율이 복잡하면 서로 가까이 있지만 일치하지 않는 배음 쌍이 많아집니다—이것이 맥놀이와 거칠기의 원천입니다(헬름홀츠, 「음 감각론」 1863).

$$p f_1 = q f_2 \quad\Rightarrow\quad b = \lvert q f_2 - p f_1\rvert\ \text{(어긋났을 때의 맥놀이)}$$

평균율 5도 C4–G4: $p:q = 3:2$, $b = \lvert 2\times392.00 - 3\times261.63\rvert = 0.89$ Hz. 순정이면 $b=0$. 오실로스코프의 X–Y 모드(리사주 도형)로 보면 순정 음정은 정지한 도형, 어긋난 음정은 $b$의 속도로 회전하는 도형이 된다.

그림 6-1. C3(130.8 Hz)과 순정 5도 G3(3:2, 위) 및 순정 트라이톤 F♯3(45:32, 아래)의 배음 10개(가로: 로그 주파수). 초록 선은 일치하는 배음, 빨간 선은 임계대역 안에서 서로 부딪히는(가깝지만 다른) 배음 쌍. 5도는 일치가 많고 충돌이 적다.

SIMULATOR

음정 재생기: 리사주 도형과 배음 일치

음정(아래 음 기준)

조율

음색

음정—

순정 비율—

실제 크기—

첫 일치 배음의 맥놀이—

건반을 두 번 누르면 첫 음이 아래 음(진보라), 둘째 음이 위 음(청록)이 됩니다(A–K 키 가능). 또는 음정 버튼으로 위 음을 정합니다. 왼쪽: 두 사인파 $x=\sin 2\pi f_1t,\ y=\sin 2\pi f_2 t$의 리사주 도형을 실제 맥놀이 속도 그대로 회전시킨 것. '순정 비율'에서는 도형이 멈추고, '12평균율'에서는 5도가 약 2초에 한 바퀴, 장3도는 훨씬 빠르게 돕니다. 오른쪽: 아래 음(위 줄)과 위 음(아래 줄)의 배음 10개. 초록 = 일치(±3 ¢), 빨강 = 거칠기를 만드는 근접 쌍(진할수록 거칠다).

맥놀이, 거칠기, 그리고 임계대역

두 사인파의 주파수 차 $\Delta f$를 0에서 늘려 가면 지각이 세 단계로 바뀝니다. ① $\Delta f$가 수 Hz 이하이면 하나의 음이 $\Delta f$ 속도로 커졌다 작아지는 맥놀이(Beats). ② 약 15–20 Hz를 넘으면 일렁임이 너무 빨라 개별로 셀 수 없고 '지글지글한' 거칠기(Roughness)로 들립니다. ③ 차이가 임계대역(Critical Band)을 넘으면 두 음이 따로 분리되어 매끄럽게 들립니다.

임계대역은 달팽이관을 대역통과 필터뱅크로 볼 때 한 필터의 유효 대역폭입니다(14장). 두 성분이 같은 필터 안에 들어오면 그 필터 출력이 맥놀이 포락선으로 흔들리고, 다른 필터로 갈라지면 흔들림이 사라집니다. 플롬프와 레벨트(Plomp & Levelt, 1965)는 두 사인파의 불협화도 판단 실험에서 최대 불협화가 임계대역폭의 약 25%에서 나타나고, 약 100%를 넘으면 거의 협화가 됨을 보였습니다. 중요한 것은 이 곡선이 음정(비율)이 아니라 Hz 차이, 정확히는 임계대역 단위의 차이에 따른다는 점입니다.

$$\mathrm{ERB}(f) = 24.7\left(\frac{4.37 f}{1000}+1\right)\ \text{Hz}, \qquad \mathrm{CB}_{\text{Zwicker}}(f) = 25 + 75\left[1+1.4\left(\tfrac{f}{1000}\right)^2\right]^{0.69}\ \text{Hz}$$

ERB: 등가 직사각형 대역폭(Glasberg & Moore 1990). 440 Hz에서 72 Hz, 1 kHz에서 133 Hz. Zwicker–Terhardt(1980)의 임계대역폭은 저역에서 약 100 Hz로 더 넓다(440 Hz에서 113 Hz). 플롬프–레벨트 실험은 후자 계열의 값을 썼다. 결과적으로 같은 단3도라도 저음역에서는 $\Delta f$가 작아 임계대역 안에 들어가 거칠다—낮은 음역에서 3도 화음이 '탁해지는' 이유(저음 한계, low interval limit).

그림 6-2. 두 사인파의 불협화도를 임계대역 단위 $\Delta f/\mathrm{CB}$로 그린 곡선(세타레스의 매개화로 계산). 최대값은 약 0.25 CB, 1 CB를 넘으면 거의 0. 위 띠는 지각의 세 영역.

SIMULATOR

맥놀이 → 거칠기 → 두 음: Δf 탐색기

기준 주파수 f 주파수 차 Δf

두 주파수—

ERB / CB(Zwicker)—

Δf / CB—

예상 지각—

재생 중에 슬라이더를 움직이면 소리가 바로 바뀝니다(사인파 두 개, 각각 gain 0.15). Δf 슬라이더는 작은 값을 세밀하게 고르도록 지수 눈금입니다(0–400 Hz). 위: 두 사인파의 합 0.5초(포락선 $2\lvert\cos\pi\Delta f t\rvert$). 아래: 기준 주파수 f에서 세타레스 모델로 계산한 불협화 곡선과 지금 위치. 해볼 것: f = 200 Hz와 f = 1500 Hz에서 같은 Δf = 50 Hz가 얼마나 다르게 들리는지(CB에 대한 비율이 다르다). 경계값(15 Hz, 1 CB)은 개인차가 큰 대략값입니다.

세타레스 불협화 곡선: 스펙트럼에서 협화를 계산하기

플롬프–레벨트 곡선은 사인파 두 개에 대한 것입니다. 실제 음 두 개의 불협화는 모든 성분 쌍의 불협화를 더한 것으로 근사할 수 있습니다(Plomp & Levelt 1965, Kameoka & Kuriyagawa 1969). 세타레스(William Sethares, 「Tuning, Timbre, Spectrum, Scale」 1998/2005)는 곡선을 두 지수의 차로 매개화해 계산을 간단히 했습니다.

$$d(f_i,f_j,a_i,a_j) = a_i a_j\left(e^{-b_1 s\,\lvert f_j-f_i\rvert} - e^{-b_2 s\,\lvert f_j-f_i\rvert}\right),\quad s = \frac{x^*}{s_1 \min(f_i,f_j) + s_2}$$ $$D(\text{음색},\, r) = \sum_{i$b_1 = 3.5,\ b_2 = 5.75,\ x^* = 0.24,\ s_1 = 0.0207,\ s_2 = 18.96$. $s$가 '임계대역 스케일링'으로, 최대값 위치 $\Delta f^* = \ln(b_2/b_1)/((b_2-b_1)s) \approx 0.92(0.0207 f+18.96)$는 440 Hz에서 약 26 Hz다. 세타레스의 후기 구현은 진폭 가중을 $\min(a_i,a_j)$로 쓰기도 한다. 여기서는 $a_ia_j$.

SIMULATOR

음색별 불협화 곡선 (세타레스 모델)

음색(스펙트럼)

늘임 옥타브 S (늘인 배음) 아래 음 f

고른 음정—

불협화 D—

협화점(국소 최소)—

곡선을 클릭하면 그 비율의 두 음을 같은 음색으로 들려줍니다. 가로축: 주파수비 1–2.3(로그), 회색 눈금 = 평균율 반음, 아래 글자 = 순정 비율. 보라 점 = 국소 최소(협화점). ① '배음 6개': 1/1, 6/5, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 2/1에 골짜기. ② '사인': 골짜기가 1:1 근처 하나뿐 — 사인파에는 '협화 음정'이 따로 없다. ③ '홀수 배음'(사각파형): 짝수 배음이 없어 5/4·5/3 골짜기가 얕아지고, 3/2·2/1보다 7/5 등의 성질이 바뀐다. ④ '늘인 배음' S = 2.1: 배음 $f_n = f\,n^{\log_2 S}$(피아노 저음현·종 같은 비조화). 골짜기가 2/1이 아니라 S로 이동해, 정확한 옥타브가 오히려 거칠어집니다. 모델: 성분별 사인 합성, 진폭 0.88ⁿ⁻¹(홀수 배음은 1/n).

조율–음색 짝짓기 세타레스의 결론은 "협화한 음정은 음색이 정한다"이다. 늘인 배음을 가진 소리에는 늘인 옥타브를 가진 음계가, 가믈란 메탈로폰의 비조화 스펙트럼에는 슬렌드로·펠로그 음계가 더 잘 맞는다. 거꾸로 원하는 음계(예: 10-EDO)에 맞춰 배음 위치를 옮긴 인공 음색을 설계하면, 그 음계에서도 '협화음'을 만들 수 있다. 피아노 조율사가 고음은 높게, 저음은 낮게 조율하는 '레일스백 곡선'(늘인 조율)도 같은 원리다(3장).

어디서 거칠기가 생기나: 배음 쌍 행렬

불협화 합 $D$를 '행렬'로 펼쳐 보면 어느 배음 쌍이 소리를 거칠게 만드는지 보입니다. 행은 아래 음의 배음 $i$, 열은 위 음의 배음 $j$, 칸의 값은 쌍 $(i f_1, j f_2)$의 $d$입니다. 순정 $p:q$에서는 $i/j = p/q$인 칸이 정확히 일치(맥놀이 0)하고, 그 주변 칸이 거칠기를 만듭니다. 평균율로 바꾸면 일치하던 칸이 '거의 일치'가 되어 매우 느린 맥놀이를 냅니다—5도는 거의 느끼지 못할 만큼, 장3도는 분명히 들릴 만큼.

SIMULATOR

배음 일치 행렬

음정

조율

배음 수 아래 음

불협화 합 D—

일치하는 쌍—

가장 거친 쌍—

고른 칸—

칸을 클릭하면 그 두 배음(사인파 두 개)만 2초간 들려줍니다 — 빨간 칸은 맥놀이·거칠기가, ◎ 칸은 하나로 녹은 소리가 들립니다. 색: 쌍의 불협화 $d$(진할수록 거칠다), ◎ = 일치(±3 ¢), ○ = 거의 일치(평균율에서 느린 맥놀이, 칸 안 숫자 = 맥놀이 Hz). 해볼 것: 5:4를 순정 ↔ 평균율로 바꾸면 ◎이 ○로 바뀌고, 아래 음을 낮출수록 행렬 전체가 붉어집니다(같은 음정도 저음에서 거칠다).

화음의 협화도 순위

세 음 이상도 같은 방법으로 계산합니다. 모든 음의 모든 배음을 모아 서로 다른 음에 속한 쌍의 $d$를 더하면 됩니다. 이 단순한 모델만으로도 음악 이론의 직관이 상당 부분 재현됩니다: 장3화음 < 단3화음 < 감3화음, 증3화음, 그리고 반음이 들어간 화음(장7, 클러스터)이 가장 거칩니다. 장3화음이 단3화음보다 매끄러운 이유는 4:5:6이라는 배음열의 연속 구간이기 때문이고, 단3화음 10:12:15는 같은 음정들(장3·단3·5도)로 이루어졌어도 배열이 다릅니다.

SIMULATOR

화음 거칠기 순위표

근음

조율

음색

가장 매끄러움—

가장 거침—

고른 화음—

막대를 클릭하면 그 화음을 펼친 뒤 동시에 들려줍니다. 값 D는 서로 다른 음에 속한 모든 배음 쌍의 세타레스 불협화 합(음 쌍 수로 나누지 않음 — 4음 화음은 쌍이 많아 불리합니다). 해볼 것: ① 근음을 낮추면(A2 근처) 모든 값이 커지고 단3화음이 급격히 나빠집니다. ② '사인'으로 바꾸면 순위가 크게 흐트러집니다 — 화음의 협화 순서는 배음이 만든다는 증거. ③ 순정으로 바꾸면 장3화음이 특히 좋아집니다. 한계: 이 모델은 거칠기만 보며, 조화성(한 기본음으로 묶이는 정도)과 문맥(기능 화성)은 반영하지 않습니다.

협화의 이론들: 거칠기, 조화성, 그리고 문화

거칠기 모델은 강력하지만 협화의 전부는 아닙니다. 경쟁하는(그리고 보완하는) 설명은 다음과 같습니다.

이론	핵심 주장	근거/한계
정수비(피타고라스)	단순한 비율 = 협화	현상 기술일 뿐 메커니즘이 없다. 평균율의 '무리수' 음정도 협화로 들린다.
거칠기(헬름홀츠, 플롬프–레벨트)	임계대역 안 성분 쌍의 맥놀이가 불협화	음역 의존성·음색 의존성을 잘 설명. 하지만 성분을 양쪽 귀에 따로 들려줘도(거칠기 없음) 불협화 판단이 남는다.
조화성·주기성(Stumpf의 융합, 터하르트의 가상 피치)	성분 전체가 하나의 배음열(공통 기본음)에 잘 맞을수록 협화	McDermott, Lehr & Oxenham(2010): 서양 청자의 협화 선호는 거칠기 회피보다 조화성 선호와 더 강하게 상관하고, 음악 훈련과 함께 커졌다.
문화·학습	익숙한 화음이 '좋게' 들린다	McDermott 등(2016, Nature): 서양 음악 노출이 적은 볼리비아 아마존의 치마네(Tsimane') 사람들은 협화·불협화 화음을 비슷하게 좋아했다(거칠기 차이는 구별함). 협화 '선호'는 상당 부분 학습된 것일 수 있다.

요컨대 거칠기는 물리·생리적으로 측정 가능한 감각이고, 협화 선호는 그 감각 + 조화성 + 문화가 섞인 판단입니다. 엔지니어 관점에서 유용한 결론: 같은 음표라도 음역(저음에서 3도를 피하라), 음색(배음 구조), 조율(평균율의 3도 맥놀이)에 따라 거칠기는 수치로 달라지며, 편곡과 믹싱에서 이를 조절할 수 있습니다.

마지막으로 귀를 훈련해 봅시다. 음정 청음은 악보 없이 음악을 이해하는 기본기입니다. 처음에는 기준 노래(완전 4도 = "결혼 행진곡"의 시작처럼 각자에게 익숙한 곡)를 연결하는 방법이 흔히 쓰이지만, 결국에는 각 음정의 고유한 '색'—5도의 텅 빈 울림, 장3도의 밝음, 트라이톤의 긴장—을 직접 알아듣게 됩니다.

SIMULATOR

음정 청음 훈련

'새 문제'를 누르면 두 음이 울립니다. 아래 버튼에서 음정을 고르세요.

문제 범위

들려주는 방식

점수0 / 0

연속 정답0

최고 연속0

정답률—

아래 음은 C3–C4에서 무작위, 음색은 피아노, 12평균율. 위 그래프는 음정별 정답률(막대 높이)과 시도 횟수(숫자)로, 어떤 음정을 자주 헷갈리는지 보여 줍니다. 답을 고르면 건반에 두 음이 표시됩니다. 기록은 이 페이지를 닫으면 사라집니다.

핵심 정리

음정은 반음 수 $s$, 비율 $r$, 센트 $1200\log_2 r$로 표현한다. 자리바꿈은 $s\leftrightarrow12-s$, $r\leftrightarrow 2/r$.
비율 $p:q$가 단순할수록 두 음의 배음이 많이 일치하고, 서로 가까운 비일치 쌍이 적다. 어긋나면 $\lvert qf_2-pf_1\rvert$ Hz로 맥놀이한다.
두 사인파의 $\Delta f$가 커지면 맥놀이 → 거칠기 → 분리된 두 음. 최대 거칠기는 임계대역의 약 25%, 1 CB 이상은 매끄럽다(플롬프–레벨트 1965). ERB = 24.7(4.37f/1000 + 1).
세타레스 모델: 모든 성분 쌍의 $a_ia_j(e^{-b_1s\Delta f}-e^{-b_2s\Delta f})$을 더한 불협화 곡선의 골짜기가 협화 음정이다.
협화점은 음색이 정한다. 조화 배음은 단순 정수비에 골짜기를, 늘인 배음은 늘인 음정에 골짜기를 만든다(조율–음색 짝짓기).
같은 음정도 저음역에서 더 거칠다(임계대역이 상대적으로 넓다). 화음의 거칠기 순위는 장3 < 단3 < 감·증 < 반음 포함 화음.
협화 선호는 거칠기 + 조화성 + 문화적 학습의 합작이다(McDermott 2010, 2016).

확인 퀴즈

완전 5도(3:2)의 자리바꿈 음정과 그 비율은?

자리바꿈 음정은 곱해서 옥타브(2)가 된다: 2 ÷ 3/2 = 4/3. 반음으로는 12 − 7 = 5(완전 4도).

평균율 장3도 C4–E4(261.63, 329.63 Hz)에서 가장 먼저 어긋나 맥놀이를 내는 배음 쌍과 맥놀이 속도는?

순정 5:4에서는 5·f_C = 4·f_E로 일치한다. 평균율에서는 5 × 261.63 = 1308.1, 4 × 329.63 = 1318.5 → 약 10.4 Hz.

플롬프–레벨트 실험에서 두 사인파가 가장 불협화하게 들린 주파수 차는?

최대 불협화는 약 0.25 CB에서 나타난다. 임계대역폭은 주파수에 따라 달라지므로 '몇 반음'으로 고정되지 않는다—그래서 같은 음정도 저음에서 더 거칠다.

순수 사인파 두 개로 세타레스 불협화 곡선을 그리면 어떻게 되는가?

사인파에는 배음이 없으므로 일치할 상위 성분도 없다. 불협화는 Δf가 임계대역 안일 때만 생기고, 그 밖은 모두 거의 0이다. 협화 음정의 '골짜기'는 배음이 만든다.

배음이 $f_n = f\cdot n^{\log_2 2.1}$로 늘어난 음색에서 가장 매끄러운 '옥타브'는?

$n=2$ 배음이 $2.1f$에 있으므로 위 음을 2.1배에 두어야 위 음의 기본음과 아래 음의 2배음(그리고 위 음 $m$과 아래 음 $2m$ 배음들)이 일치한다. $1200\log_2 2.1 = 1284$ ¢.

치마네 연구(McDermott 등 2016)가 시사하는 바로 가장 알맞은 것은?

치마네 참가자들은 거친 소리를 덜 좋아하는 경향(감각적 구별)은 보였지만, 협화·불협화 화음에 대한 선호 차이는 거의 없었다. 협화의 '감각'과 '선호'를 구별해야 한다.