Chapter 03

악기의 물리

악기는 공진기입니다. 줄, 공기 기둥, 막, 금속 막대가 각자의 경계 조건이 허락하는 주파수(모드)로만 진동하고, 그 모드들의 주파수 비가 정수에 가까운지 아닌지가 '음높이가 또렷한 악기'와 '타악기'를 가릅니다. 이 장에서는 파동 방정식의 해를 직접 울려 보고, 1983년 논문으로 발표된 간결한 카플러스–스트롱 알고리즘이 어떻게 기타 소리를 내는지 해부합니다.

현의 모드 주파수 $f_n = n v/2L$, $v=\sqrt{T/\mu}$와 메르센 법칙으로 실제 현의 장력을 계산한다.
뜯는 위치 $\beta$가 $n\beta$가 정수인 배음을 지우는 이유를 푸리에 계수로 설명하고 듣는다.
카플러스–스트롱 알고리즘을 지연선 + 저역 통과 루프로 이해하고, 감쇠·밝기·분수 지연 조율을 계산한다.
피아노 현의 비조화성 $f_n = nf_0\sqrt{1+Bn^2}$과 늘린 조율(레일스백 곡선)의 관계를 안다.
열린 관·닫힌 관·원뿔관의 공명열, 끝 보정, 막(베셀 영점)과 막대·종의 비조화 모드를 비교한다.

현의 정상파와 배음열

양 끝이 고정된 줄의 작은 가로 변위 $y(x,t)$는 1차원 파동 방정식 $\partial_t^2 y = v^2\,\partial_x^2 y$를 따릅니다. 1장의 정상파가 바로 이 방정식의 해이고, 양 끝($x=0, L$)에서 변위가 0이어야 한다는 경계 조건이 허락하는 모양은 반 파장의 정수배가 줄 길이에 꼭 맞는 것들뿐입니다.

$$y_n(x,t) = \sin\frac{n\pi x}{L}\,\cos(2\pi f_n t), \qquad f_n = \frac{n\,v}{2L}, \qquad v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$$

$T$: 장력(N), $\mu$: 선밀도(kg/m), $v$: 줄 위 파동 속도(공기 중 음속과 무관!). 모드 주파수가 정확히 $f_1$의 정수배이므로 이상적인 현은 완벽한 배음열(2장)을 만든다. $n$번째 모드에는 양 끝을 뺀 $n-1$개의 마디가 있다.

그림 3-1. 양 끝이 고정된 현의 모드 1–4. 점선은 반주기 뒤의 모양, 작은 원은 마디. 줄을 어느 한 점에서 뜯으면 그 점이 마디인 모드는 처음부터 움직일 수 없다 — 다음 시뮬레이터의 핵심.

실제로 줄을 뜯으면 처음 모양(삼각형)을 푸리에 사인 급수로 분해한 계수만큼 각 모드가 들뜹니다. 위치 $\beta L$에서 높이 $h$로 뜯은 삼각형의 계수와, 해머로 친(초기 속도 충격) 경우의 계수는

$$a_n^{\text{pluck}} = \frac{2h}{\pi^2\beta(1-\beta)}\cdot\frac{\sin(n\pi\beta)}{n^2}, \qquad a_n^{\text{strike}} \propto \frac{\sin(n\pi\beta)}{n}$$

$\sin(n\pi\beta) = 0$, 즉 $n\beta$가 정수인 모드는 전혀 들뜨지 않는다. 줄 길이의 1/5 지점에서 뜯으면 5, 10, 15번 배음이 빠진다. 몸통을 흔드는 것은 브리지에 걸리는 힘(줄 기울기 $\propto n a_n$)이므로, 소리 스펙트럼은 뜯기에서 $\sin(n\pi\beta)/n$, 치기에서 $\sin(n\pi\beta)$를 따른다. 활로 켜는 현은 마찰의 '붙었다–미끄러졌다'가 만드는 헬름홀츠 운동으로 꺾인 점 하나가 줄을 따라 도는데, 이것은 진폭 $1/n^2$(소리는 $1/n$, 톱니파)인 운동이다.

SIMULATOR

뜯는 위치와 현의 모드 합성

들뜨기 방식

위치 β 기본 주파수

빠지는 배음—

스펙트럼 무게중심—

β의 분수 근사—

위: 모드 40개를 겹친 줄의 실제 움직임(슬로 모션, 높은 모드가 더 빨리 감쇠). 빨간 삼각형이 뜯는/치는 위치입니다. 아래: 소리(브리지 힘) 스펙트럼 dB — 빨간 ×가 사라진 배음. β를 50%(정중앙)로 놓으면 짝수 배음이 모두 사라져 속이 빈 클라리넷 같은 소리, 5% 근처(브리지 가까이)는 날카로운 소리가 납니다. 기타리스트가 사운드홀 위와 브리지 앞을 오가며 음색을 바꾸는 이유입니다. 모델: 이상 현 + 모드별 지수 감쇠 가산 합성(몸통 공명 없음). '활'은 이상적인 헬름홀츠 운동(위치 무관)으로 근사.

메르센 법칙: 실제 현의 숫자

마랭 메르센(1636)은 현의 진동수가 길이에 반비례하고, 장력의 제곱근에 비례하며, 선밀도의 제곱근에 반비례함을 실험으로 밝혔습니다. 위 식에서 $\mu = \rho\pi d^2/4$(지름 $d$, 재질 밀도 $\rho$)를 넣으면

$$f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{1}{Ld}\sqrt{\frac{T}{\pi\rho}}, \qquad T = \mu\,(2Lf_1)^2$$

옥타브를 올리려면 길이를 절반으로(프렛 12번), 또는 장력을 4배로, 또는 지름을 절반으로. 그래서 기타 저음현은 장력을 너무 낮추지 않으면서 $\mu$를 키우려고 심선에 구리선을 감는다(감은 현, wound string). 피아노 저음현도 같다.

SIMULATOR

현 계산기: 길이·장력·지름·재질 → 음높이

프리셋 진동 길이 L 장력 T 지름 d

재질

기본 주파수—

선밀도 μ—

파동 속도 v—

장력(kgf) / 응력—

프리셋은 목표 음에 맞춘 실제 규격(장력은 계산값)입니다. 기타 1번줄은 약 7.4 kgf, 피아노 현 하나는 약 78 kgf — 피아노 230여 줄의 장력 합은 약 20톤입니다. 응력은 인장 강도(강철 피아노선 ≈ 2.2 GPa, 나일론 ≈ 0.4 GPa, 거트 ≈ 0.35 GPa로 가정) 대비 비율이며, 강철 고음현은 강도의 60–70%까지 당겨 씁니다. 그래프: 위는 f–T(√ 관계), 아래는 f–L(반비례). 소리는 카플러스–스트롱 합성.

카플러스–스트롱: 열 줄짜리 기타

알렉스 스트롱은 1978년 12월 기본 평균 알고리즘을 발명했고, 케빈 카플러스는 1979년 12월 드럼 변형을 발견했습니다. 두 저자(논문 당시 카플러스: Cornell, 스트롱: Stanford)는 1983년 잡음으로 채운 원형 버퍼를 돌리면서 이웃한 두 샘플의 평균을 다시 써넣기만 해도 놀랍도록 사실적인 뜯은 현 소리가 난다는 것을 발표했습니다(Computer Music Journal 7(2)). 같은 해 데이비드 재피와 줄리어스 스미스가 이것을 물리적인 현의 디지털 도파관(digital waveguide) 모델로 해석하고 확장했습니다.

그림 3-2. 카플러스–스트롱 루프. 지연선은 줄 위를 왕복하는 파동, 평균 필터는 진동할 때마다 높은 주파수를 더 많이 잃는 줄의 손실, 올패스는 정수 샘플로 맞출 수 없는 나머지 지연을 채운다.

$$y[n] = x[n] + \frac{\rho}{2}\big(y[n-N] + y[n-N-1]\big), \qquad |H_{\text{loop}}(f)| = \rho\,\left|\cos\frac{\pi f}{f_s}\right|$$

한 바퀴(주기 $P$)마다 $k$번째 배음은 $\rho\cos(\pi k f_1/f_s)$배가 된다 — 높은 배음일수록 빨리 사라지는 실제 현의 성질이 공짜로 나온다. 60 dB 감쇠 시간은 $T_{60} = \dfrac{-3}{f_1\log_{10}(\rho\cos(\pi k f_1/f_s))}$. 평균 필터가 반 샘플을 지연시키므로 주기는 $N + \tfrac12$. 44.1 kHz에서 1 kHz 음은 $P = 44.1$이라 정수 $N$만 쓰면 $43.5$ 또는 $44.5$ — 최대 ±20센트 가까이 틀린다. 1차 올패스 $A(z) = (a + z^{-1})/(1 + az^{-1})$, $a = (1-\Delta)/(1+\Delta)$가 저주파에서 $\Delta$ 샘플 지연을 만들어 이 오차를 없앤다(Jaffe & Smith 1983).

SIMULATOR

카플러스–스트롱 기타와 스펙트로그램

코드 스트럼

감쇠 ρ 밝기(초기 잡음) 뜯는 위치 β 올패스 분수 지연으로 정확히 조율

루프 지연 P—

정수 지연만 쓸 때 오차—

T₆₀: 기본음 / 10배음—

건반(A–K 키, E2–B4)이나 코드 버튼(줄당 25 ms 간격 다운 스트럼)으로 연주하세요. 위: 마지막 소리의 파형 포락선, 아래: 스펙트로그램(세로 로그 주파수 50 Hz–8 kHz, 밝을수록 강함). 높은 배음 줄이 먼저 사라지는 것과 β를 키울 때 빗살처럼 빠지는 배음이 보입니다. 고음(B4 근처)에서 분수 지연을 끄면 음이 눈에 띄게 어긋납니다 — 오차 표시를 확인하세요. 버퍼는 44.1 kHz로 직접 계산합니다(페이지 스크립트, 약 30줄).

피아노: 뻣뻣한 현과 늘린 조율

실제 강철선은 굽힘 강성이 있어 이상적인 현이 아닙니다. 짧은 파장(높은 모드)일수록 굽힘이 복원력에 더 많이 보태져 모드 주파수가 정수배보다 조금씩 높아집니다(Fletcher 1964).

$$f_n = n f_0 \sqrt{1 + Bn^2}, \qquad B = \frac{\pi^3 E d^4}{64\,T L^2}$$

$E$: 영률(강철 약 200 GPa), $d$: 지름, $T$: 장력, $L$: 길이. $B$는 피아노 중음역에서 대략 $10^{-4}$–$10^{-3}$, 짧고 굵은 최고음 현에서 $10^{-2}$에 가깝다. 그랜드 피아노가 업라이트보다 저음이 깨끗한 이유는 긴 현($L$이 큼) 덕분에 $B$가 작아서다. $B=0.0004$이면 16번 부분음은 실제 첫 부분음의 16배보다 약 +84.04센트 높다(이상적 16f₀ 대비로는 +84.39센트).

조율사는 옥타브를 맞출 때 아래 음의 2번 배음과 위 음의 기본음 사이의 맥놀이를 없앱니다. 그런데 아래 음의 2번 배음이 이미 $2f_0$보다 높으므로, 귀로 맞춘 옥타브는 2:1보다 약간 넓어집니다. 이것이 건반 전체에 누적된 것이 늘린 조율(Stretch Tuning)이고, 그 편차를 그린 것이 레일스백 곡선(Railsback Curve, 1938)입니다.

그림 3-3. 레일스백 곡선의 대략적 모양. 가로는 88건반, 세로는 평균율 대비 센트 편차. 가운데(A4 근처)는 거의 0이고, 양 끝으로 갈수록 벌어진다(최저음 약 −20 ~ −30¢, 최고음 약 +30¢). 실제 값은 피아노와 조율사마다 다르다.

SIMULATOR

비조화성 B와 옥타브의 맥놀이

비조화 계수 B 아래 음

2번 배음 편차—

16번 배음 편차—

순수 옥타브 맥놀이—

필요한 늘림—

위: 배음 번호에 따른 편차(센트) 곡선 $600\log_2[(1+Bn^2)/(1+B)]$, 실제 첫 부분음의 정수배를 기준으로 한다. 아래: 옥타브 두 음의 배음 위치 — 보라는 아래 음, 청록은 위 음(순수 2:1), 겹치지 않는 쌍이 맥놀이를 만듭니다. B를 크게(10⁻³ 이상) 하고 두 옥타브 버튼을 번갈아 들어 보세요. 순수 2:1은 느린 '와우와우', 늘린 조율은 아래 음의 2번과 위 음의 1번 부분음만 일치시켜 그 쌍의 맥놀이를 없앱니다. 다른 부분음 쌍에는 맥놀이가 남을 수 있습니다. '한 음'과 'B = 0'을 비교하면 비조화성이 피아노다운 '쇳소리'를 만든다는 것도 들립니다. 모델: 배음 16개 가산 합성, 두 음의 B는 같다고 가정.

관악기: 열린 관, 닫힌 관, 원뿔관

관 안의 공기 기둥도 1차원 파동 방정식을 따르지만, 경계 조건이 현과 다릅니다. 열린 끝에서는 압력이 대기압으로 고정되어 압력의 마디가 되고, 닫힌 끝(리드나 입술로 막힌 쪽)에서는 공기가 움직일 수 없어 압력의 배가 됩니다.

$$\text{열린–열린: } f_n = \frac{n c}{2L'},\qquad \text{닫힌–열린: } f_n = \frac{(2n-1)c}{4L'},\qquad L' = L + 0.61a\ (\text{열린 끝마다})$$

$a$: 관 반지름. 실제 압력 마디는 관 끝보다 약간 바깥에 생기므로 끝 보정(end correction) $\approx 0.61a$(플랜지 없음, Levine–Schwinger 1948) — 플랜지가 있으면 $0.82a$. 닫힌 관은 같은 길이의 열린 관보다 한 옥타브 낮고 홀수 배음만 공명한다. 원뿔관(오보에, 색소폰, 바순)은 꼭짓점이 닫혀 있어도 구면파 해 $\sin(kx)/x$ 덕분에 열린 관처럼 모든 배음을 가진다.

악기	관 모양 / 끝	공명열	특징
플루트	원통, 열린–열린	모든 배음	세게 불면 옥타브 위(2번 모드)로 '오버블로'
클라리넷	원통, 닫힌(리드)–열린	홀수 배음	오버블로하면 12도(3번 모드) 위 — 운지가 옥타브마다 반복되지 않음
오보에·색소폰	원뿔, 닫힌–열린	모든 배음	옥타브 키로 옥타브 위
트럼펫	원통+벨+마우스피스, 입술 리드	보정된 배음열	벨과 마우스피스가 닫힌 관의 홀수 공명을 2, 3, 4, 5…배에 가깝게 끌어다 놓는다(최저 '페달 음'은 공명이 약함)

SIMULATOR

관 공명기: 열린·닫힌·원뿔

관 종류

길이 L 반지름 a 그릴 모드 n

유효 길이 L′—

최저 공명 f₁—

공명열—

위: 관 속 n번 모드의 압력 정상파(보라, 출렁임)와 공기 변위(청록 점선). 닫힌 끝은 압력의 배, 열린 끝은 압력의 마디입니다. 아래: 기본음 기준 배음 자리 — 빈 칸은 그 관이 공명하지 않는 배음. 같은 길이에서 '열린–열린'과 '닫힌–열린'을 바꿔 들어 보세요. 한 옥타브 내려가고 소리가 속 빈 클라리넷 쪽으로 바뀝니다. 소리 모델: 공명열 위의 배음을 1/n 진폭으로 쌓은 지속음(실제 리드·에지 음원의 비선형성은 생략).

막: 베셀 함수와 비조화 모드

가장자리가 고정된 원형 막의 2차원 파동 방정식을 극좌표에서 풀면, 지름 방향 모양이 베셀 함수 $J_m$이 됩니다. 가장자리($r=a$)에서 변위가 0이어야 하므로 허용 주파수는 베셀 함수의 영점 $j_{mn}$에 비례합니다.

$$z_{mn}(r,\theta,t) = J_m\!\left(j_{mn}\tfrac{r}{a}\right)\cos(m\theta)\cos(2\pi f_{mn}t), \qquad f_{mn} = \frac{j_{mn}}{2\pi a}\sqrt{\frac{T_s}{\sigma}}$$

$m$: 마디 지름의 수, $n$: 마디 원의 수(가장자리 포함). $T_s$: 막의 단위 길이당 장력(N/m), $\sigma$: 면밀도. $j_{01}=2.405,\ j_{11}=3.832,\ j_{21}=5.136,\ j_{02}=5.520,\ j_{31}=6.380$ → 주파수비 1 : 1.59 : 2.14 : 2.30 : 2.65. 정수비가 아니므로 북은 또렷한 음높이를 내지 못한다. 팀파니는 막에 실린 공기의 질량과 통(케틀)이 이 비를 고쳐 (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) 모드를 약 2 : 3 : 4 : 5에 가깝게 만들고, 이 성분들을 2f·3f·4f·5f로 해석하면 (1,1)의 2f보다 한 옥타브 낮은 f가 빠진 기본음으로 지각될 수 있다. 물리적 모드 주파수와 지각된 음높이는 구분한다.

SIMULATOR

원형 막의 모드와 타격 위치

모드 (m, n)

f₀₁ 타격 위치 r/a

모드 주파수

선택 모드—

주파수—

이 위치에서 들뜨는 정도—

왼쪽: 선택한 모드의 모양(위에서 본 변위, 보라 = 위, 청록 = 아래, 배경색 줄 = 마디선). 흰 점이 타격 위치. 오른쪽: 막대 = 이 위치에서 친 각 모드의 세기, 점선 = f₀₁의 정수배. 정중앙(0%)을 치면 m = 0 모드만 울려 '퉁' 하는 둔한 소리, 가장자리 쪽으로 갈수록 많은 모드가 섞여 밝아집니다. 드러머가 가장자리에서 1/3쯤 안쪽을 치는 이유. '정수비'로 바꾸면 같은 세기 분포가 음높이 있는 소리로 변합니다. 모델: 이상적인 막(공기 부하·강성 없음) 12개 모드, 높은 모드가 빨리 감쇠한다고 가정.

막대와 종: 비조화를 깎아서 고치기

양 끝이 자유로운 막대의 굽힘 진동은 4차 미분 방정식(오일러–베르누이 보)을 따르고, 모드 주파수가 $n^2$에 가깝게 벌어집니다: $f_n \propto (\beta_n L)^2$, $\beta_n L = 4.730,\ 7.853,\ 10.996, \dots$ → 1 : 2.76 : 5.40 : 8.93. 실로폰·마림바 제작자는 막대 가운데 아랫면을 아치 모양으로 깎아(undercut) 가운데의 강성을 줄여서 1번 모드를 크게 내리고, 2번 모드를 정수비에 맞춥니다.

악기	모드 주파수비	설명
깎지 않은 막대	1 : 2.76 : 5.40	글로켄슈필(높은 모드가 빨리 사라져 괜찮다)
실로폰	1 : 3 : 6	2번 모드를 12도(3배)에 — 공명관도 닫힌 관이라 3배를 돕는다
마림바·비브라폰	1 : 4 : 9.2	2번 모드를 두 옥타브(4배)에 — 부드럽고 깊은 소리
교회 종	0.5 : 1 : 1.2 : 1.5 : 2	험(hum)·프라임·티어스(단3도)·퀸트·노미널. 종 특유의 슬픈 단3도 성분
관 종(튜블러 벨)	… 8.93 : 13.34 : 18.64	4–6번 모드가 약 2 : 3 : 4 → 귀는 그 '잃어버린 기본음'을 타격음으로 듣는다

SIMULATOR

타악기의 배음 지도: 막대·종·현 비교

악기 모델

기준 주파수

모드 비—

기대 음높이—

가로축은 기준 주파수 대비 비(로그), 막대 높이는 초기 세기, 점선은 정수배 격자입니다. 재생하면 각 부분음이 자기 감쇠율로 사라지며 막대가 줄어듭니다. 종에서는 단3도(1.2)가 장3도 배음(5:4 = 1.25)이 있어야 할 자리 근처에 있다는 것, 관 종에서는 1번 모드가 아닌 높은 모드들의 공통 기본음이 들린다는 것을 확인하세요. 모델: 부분음 가산 합성, 비와 감쇠는 문헌의 대표값 근사(Rossing, The Science of Sound; Fletcher & Rossing).

핵심 정리

양 끝 고정 현의 모드는 $f_n = n\sqrt{T/\mu}/2L$로 정확한 배음열이다. 옥타브 = 길이 ½ 또는 장력 ×4.
위치 $\beta$에서 뜯으면 계수 $\propto \sin(n\pi\beta)/n^2$: $n\beta$가 정수인 배음이 사라지고, 브리지 쪽일수록 밝다.
카플러스–스트롱 = 지연선(주기) + 평균 필터(주파수 의존 손실). 루프 이득 $\rho\cos(\pi f/f_s)$, 분수 지연은 올패스로 맞춘다.
뻣뻣한 현은 $f_n = nf_0\sqrt{1+Bn^2}$로 배음이 위로 벌어지고, 귀로 맞춘 옥타브가 넓어져 늘린 조율(레일스백 곡선)이 된다.
열린 관은 모든 배음($nc/2L'$), 닫힌 관은 홀수 배음($(2n-1)c/4L'$)이 공명한다. 끝 보정 $\approx 0.61a$. 원뿔관은 모든 배음.
원형 막의 모드는 베셀 영점에 비례해 1 : 1.59 : 2.14 : 2.30 …으로 비조화다. 중심 타격은 m = 0 모드만 울린다.
막대(1 : 2.76 : 5.40)와 종은 본래 비조화이고, 깎기와 모양 설계로 주요 모드를 정수비 근처로 옮겨 음높이를 만든다.

확인 퀴즈

기타 줄의 장력을 4배로 올리면(줄이 끊어지지 않는다면) 음높이는?

f ∝ √T이므로 √4 = 2배. 실제로는 그 전에 강철 줄이 인장 강도를 넘어 끊어진다.

줄 길이의 1/4 지점을 뜯었다. 빠지는 배음은?

sin(nπ/4) = 0이 되는 것은 n이 4의 배수일 때. 그 모드들은 뜯은 지점이 마디라 들뜨지 않는다.

한쪽이 닫힌 원통관의 최저 공명이 200 Hz다. 그다음 공명 주파수는?

닫힌–열린 관은 홀수 배만 공명한다: 200, 600, 1000 Hz… 클라리넷이 오버블로하면 옥타브가 아니라 12도(3배) 위로 가는 이유.

카플러스–스트롱에서 높은 배음이 먼저 사라지는 직접적인 이유는?

한 바퀴마다 k번 배음은 ρ·cos(πkf₁/fs)배가 된다. 매 주기 반복 적용되므로 높은 배음의 감쇠가 기하급수적으로 빠르다. 실제 현에서 공기 저항·내부 마찰이 높은 주파수에서 큰 것과 같은 효과.

피아노를 귀로 조율하면 옥타브가 2:1보다 넓어지는 이유는?

f₂ = 2f₀√(1+4B) > 2f₀√(1+B) = 2f₁. 위 음의 기본음을 아래 음의 2번 배음에 맞춰 맥놀이를 없애면 옥타브가 넓어지고, 이것이 건반 전체에 누적된다.

북의 정중앙을 치면 어떤 모드가 울리는가?

m ≥ 1 모드는 중심에서 J_m(0) = 0이라 중심이 마디다. 따라서 (0,1), (0,2), (0,3)…만 들뜬다. 이 모드들은 소리를 효율적으로 내보내지만 빨리 감쇠해 '퉁' 하는 둔한 소리가 난다.