Chapter 10

확장 화성과 리하모니제이션

9장의 일곱 화음은 조성이라는 닫힌 집합 안의 문법이었습니다. 실제 음악은 그 경계를 끊임없이 넘나듭니다. 다른 화음을 잠시 으뜸음처럼 만드는 세컨더리 도미넌트, 같은 으뜸음의 단조에서 빌려 오는 화음, 트라이톤을 공유하는 대리 화음, 대칭 구조로 조를 순간 이동하는 감7화음. 이 장에서는 이 기법들을 피치 클래스 집합 위의 연산(평행 이동, 반사, 군의 작용)으로 다루고, 직접 선율에 새 화음을 입혀 봅니다.

세컨더리 도미넌트(V/x)와 이끎화음을 만들고, 토니시제이션과 전조를 구별한다.
같은 으뜸음 단조·선법에서 화음을 빌리는 모달 인터체인지와 나폴리·증6화음을 안다.
트라이톤 대리와 감7화음의 대칭(3종류, 각 4개의 해석)을 $\mathbb{Z}_{12}$의 부분군으로 설명한다.
음수 화성을 피치 클래스 반사 $I_n$으로, 네오리만 P·L·R을 토네츠 위의 이동으로 계산한다.
선율 음을 포함하는 후보 화음을 점수화해 선율을 재화성(reharmonize)할 수 있다.

세컨더리 도미넌트: 잠깐 으뜸음 만들기

V7이 I을 강하게 부르는 이유는 트라이톤과 이끎음이었습니다(9장). 그렇다면 다른 화음 앞에도 그 화음 전용의 V7을 두면 그 화음이 잠깐 으뜸음처럼 들릴 것입니다. 이것이 세컨더리 도미넌트(Secondary Dominant)이고, 'x의 V'라는 뜻으로 V/x(V7/x)라고 적습니다.

$$\mathrm{V7}/x = \mathrm{dom7}(r_x + 7),\qquad \mathrm{vii°7}/x = \mathrm{dim7}(r_x - 1)$$

$r_x$: 목표 화음의 근음. C 장조에서 V7/ii = A7(A C♯ E G), V7/V = D7(D F♯ A C), V7/vi = E7(E G♯ B D). 새로 생기는 반음계 음(C♯, F♯, G♯)은 모두 목표 근음의 반음 아래, 즉 임시 이끎음이다. 감3화음 vii°는 장·단3화음이 아니므로 으뜸음이 될 수 없어 V/vii°는 쓰지 않는다.

목표 화음이 잠깐 으뜸음처럼 들리는 것을 토니시제이션(Tonicization), 새 으뜸음이 종지로 확정되어 한동안 머무는 것을 전조(Modulation)라 합니다. 둘의 경계는 연속적입니다 — 새 조의 종지가 있는지, 얼마나 머무는지가 기준입니다.

SIMULATOR

세컨더리 도미넌트 생성기

원래 진행 — 화음을 클릭하면 그 앞에 V/x가 들어갑니다(다시 클릭하면 제거)

꾸민 진행 (점선 빨강 = 세컨더리)

원래 진행 조

삽입할 화음

템포

삽입된 화음—

새 반음계 음 (임시 이끎음)—

현재 화음—

모든 화음은 2박씩, 4성 최소 이동 보이스 리딩 + 근음 베이스로 연주합니다. 건반의 청록은 조 밖의 음(반음계 음)입니다. 해볼 것: I–vi–ii–V–I에서 '모두 넣기' → C–E7–Am–A7–Dm–D7–G–G7–C. 근음이 5도씩 내려가는 도미넌트 사슬이 되어 '래그타임'처럼 들립니다. vii°7/x로 바꾸면 같은 목표를 반음 아래 감7화음이 끌어당깁니다.

모달 인터체인지: 같은 으뜸음의 다른 선법에서 빌리기

C 장조와 C 단조는 으뜸음이 같습니다. 그래서 C 장조 곡이 C 단조의 화음(Fm, A♭, B♭, E♭)을 잠깐 빌려 와도 '집'은 그대로입니다. 이것이 차용 화음(Borrowed Chords) 또는 모달 인터체인지(Modal Interchange)입니다. 빌려 온 화음은 장조에 없는 ♭3, ♭6, ♭7 음을 들여와 순간적으로 그늘을 드리웁니다. 반대로 단조 곡이 마지막 화음만 장3화음으로 끝내는 것을 피카르디 3도(Picardy Third)라 합니다.

그림 10-1. 으뜸음 C를 공유하는 일곱 선법을 밝기(♯ 많은 순) 순서로 늘어놓은 것. 칸은 C 장조(이오니안)와 다른 음. 장조 곡이 ♭VII를 쓰면 믹솔리디안, iv·♭VI를 쓰면 에올리안, ♭II를 쓰면 프리지안에서 빌려 온 셈이다. 각 줄은 위 줄에서 정확히 한 음을 반음 내린 것이다.

차용의 극단적인 형태 두 가지는 고전 화성의 '특수 화음'으로 이름이 붙어 있습니다.

화음	C 조에서	구성	해결
나폴리 6화음 (N⁶, ♭II⁶)	D♭/F	♭2–4–♭6, 3음(F)이 베이스	→ V(대개 I⁶₄ 경유). ♭2→7로 감3도 하행
이탈리아 증6 (It⁺⁶)	A♭–C–F♯	♭6, 1, ♯4	→ V. 증6도(A♭–F♯)가 반음씩 바깥으로 벌어져 G 옥타브가 된다
프랑스 증6 (Fr⁺⁶)	A♭–C–D–F♯	+ 2 (온음음계의 일부)
독일 증6 (Ger⁺⁶)	A♭–C–E♭–F♯	+ ♭3, 소리는 A♭7과 같다

트라이톤 대리의 조상 독일 증6(A♭ C E♭ F♯)은 이명동음으로 A♭7(A♭ C E♭ G♭)입니다. 그런데 A♭7 → G는 정확히 3절의 '♭II7 → I'(V 조에서)입니다. 19세기의 증6화음과 20세기 재즈의 트라이톤 대리는 같은 집합 연산입니다.

SIMULATOR

모달 인터체인지 팔레트

조

장조 다이아토닉(실선) · 같은 으뜸음 단조·선법에서 차용(점선 청록)

현재·선택 화음—

빌려 온 음—

출처 선법—

칸을 클릭해 고른 뒤 패드를 누르면 채워집니다(8칸, 칸당 1마디). 건반의 보라는 장조 음, 청록은 빌려 온 음(장음계 밖)입니다. '출처 선법'은 그 화음의 모든 음을 포함하는 같은 으뜸음 선법을 계산해 보여 줍니다(예: ♭VII = 믹솔리디안·도리안·에올리안). 해볼 것: I–IV–iv–I에서 iv의 ♭6(A♭)이 G로 반음 내려가는 '눈물 나는' 선을 들어 보세요.

트라이톤 대리: ♭II7 for V7

9장에서 본 것처럼 트라이톤은 $T_6$에 불변이므로, 근음이 트라이톤 거리인 두 속7화음 G7과 D♭7은 3음과 7음을 맞바꿔 공유합니다(G7의 B·F = D♭7의 F·C♭). 해결의 엔진(트라이톤)이 같으니 V7 자리에 ♭II7을 넣어도 I로 해결됩니다. 이것이 재즈의 트라이톤 대리(Tritone Substitution)입니다.

$$\mathrm{dom7}(r) \cap \mathrm{dom7}(r+6) = \{r+4,\ r+10\},\qquad \text{D}\flat 7 = \{1,5,8,11\} \equiv \text{G7}(\flat 9, \sharp 11)\ \text{의 근음·5음 생략}$$

G를 기준으로 D♭7의 음은 D♭ = ♯11(♭5), F = ♭7, A♭ = ♭9, C♭ = 3. 그래서 대리 화음은 '변형 텐션이 붙은 V7'로도 해석된다. 베이스는 ii–V–I의 D–G–C(5도 도약) 대신 D–D♭–C 반음계 하행이 된다.

SIMULATOR

ii–V–I vs ii–♭II7–I

조

진행

텐션 추가 (9·13) 템포

공유 트라이톤—

베이스 진행—

윗성부 총 이동—

위: 피아노 롤. 굵은 선이 베이스, 얇은 선이 윗성부의 이동이며, 다른 버전의 베이스가 점선으로 겹쳐 보입니다. 원래 버전은 베이스가 4도·5도로 도약하고, 대리 버전은 반음씩 미끄러집니다. 건반의 진한 보라는 두 도미넌트가 공유하는 트라이톤입니다. 해볼 것: '원래 → 대리 비교'로 윗성부 소리는 거의 같은데 베이스만 바뀌는 것을 확인하세요.

감7화음의 대칭과 전조

감7화음(Diminished Seventh)은 단3도(3반음)만 네 번 쌓아 옥타브를 정확히 사등분합니다. 피치 클래스 집합으로는 $\mathbb{Z}_{12}$의 부분군 $\langle 3\rangle = \{0,3,6,9\}$의 잉여류(coset)입니다.

$$\mathbb{Z}_{12} / \langle 3 \rangle \cong \mathbb{Z}_3:\quad \{0,3,6,9\},\ \{1,4,7,10\},\ \{2,5,8,11\}$$

감7화음은 세 종류뿐이다. 각 감7화음은 $T_3$에 불변이라 네 음 중 어느 것을 근음으로 읽어도 같은 소리이고, 각 음이 반음 위 조의 이끎음이 될 수 있으므로 네 개의 서로 다른 으뜸음으로 해결된다. 음정 벡터 $\langle 0,0,4,0,0,2\rangle$: 단3도 4개, 트라이톤 2개 — 트라이톤을 두 개 가진 '이중 도미넌트'다.

이 성질 덕분에 감7화음은 이명동음 전조의 피벗이 됩니다. 전조 방법을 정리하면 다음과 같습니다.

전조 방식	방법	예 (C → ?)
피벗 화음 (Pivot Chord)	두 조에 공통인 화음을 경첩으로	Am = C의 vi = G의 ii → D7 → G
직접 (Direct/Phrase)	프레이즈 경계에서 준비 없이 이동	후렴 반복 시 반음·온음 위로('트럭 운전사 전조')
반음계 (Chromatic)	한 성부가 반음 이동해 새 조의 이끎음이 됨	C → C♯°7 → Dm
이명동음 (Enharmonic)	감7·독일 증6을 다른 철자로 재해석	B°7 = D°7 = F°7 = A♭°7 → C, E♭, G♭(F♯), A 중 어디로든

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감7화음 하나, 으뜸음 넷

감7화음 (잉여류)

해결 화음

네 가지 해결 (클릭해서 듣기)

이 화음의 네 철자—

해결—

음정 벡터⟨0,0,4,0,0,2⟩

원 위의 정사각형 세 개가 세 종류의 감7화음이고, 선택된 것이 진하게 표시됩니다. 바깥 점(청록)은 이 감7화음이 해결할 수 있는 네 으뜸음 — 각 음의 반음 위입니다. 해결 버튼은 감7화음의 어느 음을 이끎음으로 '해석'하느냐에 따라 같은 소리가 다른 조로 가는 것을 들려줍니다(베이스는 이끎음). '네 조 순회'는 C → 감7 → 새 조 → 감7 → … 로 이명동음 전조를 연속으로 합니다.

콜트레인 체인지: 장3도 순환과 군

감7화음이 $\langle 3 \rangle$의 잉여류라면, 증3화음은 $\langle 4 \rangle = \{0,4,8\}$의 잉여류입니다. 존 콜트레인은 1959년 녹음 'Giant Steps'에서 으뜸음 자체를 이 부분군 위에서 움직였습니다. B → G → E♭ → B, 장3도씩 내려가는 세 조를 각각의 V7로 연결하는 진행입니다. 12개 조가 장3도 이동으로 4개의 궤도로 나뉘고, 한 궤도 안에서는 세 조가 옥타브를 삼등분합니다.

$$\mathbb{Z}_{12}/\langle 4\rangle:\ \{0,4,8\},\{1,5,9\},\{2,6,10\},\{3,7,11\},\qquad \text{B}\to\text{D7}\to\text{G}\to\text{B}\flat 7\to\text{E}\flat\to\text{F}\sharp 7\to\text{B}$$

세 조 B, G, E♭ = {11, 7, 3}은 한 잉여류. 각 조 앞에 그 조의 V7(D7, B♭7, F♯7)을 두면 실제 화음 근음은 '+3, +5'반음을 반복한다. 두 이동의 합 +8≡−4가 으뜸음의 장3도 하행 순환을 만든다. 9장의 5도 하행($+5$)과 장3도 순환($-4$)의 합성이다.

그림 10-2. 왼쪽: 12음을 장3도(+4)로 나눈 네 궤도(삼각형 = 증3화음 = 콜트레인 조 순환). 오른쪽: 단3도(+3)로 나눈 세 궤도(정사각형 = 감7화음). 둘 다 $\mathbb{Z}_{12}$를 부분군의 잉여류로 분할한 그림이다. 4 × 3 = 3 × 4 = 12.

음수 화성: 축에 대한 반사

음악 이론가 에른스트 레비(Ernst Levy, A Theory of Harmony, 1985)가 체계화하고 최근 제이컵 콜리어가 대중화한 음수 화성(Negative Harmony)은 놀랍도록 단순한 연산입니다. 으뜸음과 딸림음(C와 G)의 한가운데(E와 E♭ 사이)에 축을 두고 모든 음을 거울 반사합니다.

$$I_n(x) = n - x \pmod{12},\qquad n = 2k + 7\ \ (\text{조 } k\text{의 음수 축})$$

C 조($k=0$)에서 $I_7$: C↔G, D↔F, E↔E♭, A↔B♭, B↔A♭, F♯↔C♯. 반사는 음정의 방향을 뒤집으므로 장3화음(4+3)은 단3화음(3+4)이 된다: C(C E G) → (G E♭ C) = Cm. V7(G B D F) → (C A♭ F D) = Fm6 ≅ Dm7♭5, 즉 도미넌트가 서브도미넌트 마이너(iv)로 바뀐다. 반사를 두 번 하면 제자리다($I_n \circ I_n = \mathrm{id}$).

그림 10-3. 5도권 위에 그린 C 조의 음수 축(점선). 축은 C–G 쌍과 E–E♭ 쌍의 중점을 지나며, 반사 쌍은 축에 수직인 선으로 이어진다. 5도권에서 보면 '밝은 쪽(♯)'과 '어두운 쪽(♭)'을 맞바꾸는 연산이다.

SIMULATOR

음수 화성 변환기

원래

음수 (반사)

조 진행

반사 규칙—

화음 대응—

현재—

위: 5도권 위에서 원래 화음(보라)과 반사된 화음(청록), 점선은 축입니다. 음높이도 축(C 조라면 E4와 E♭4 사이)을 기준으로 실제로 반사했으므로 윗성부의 위아래가 뒤집힙니다. 베이스는 반사된 음들 가운데 화음 인식 점수가 가장 높은 근음을 고릅니다 — 같은 집합 {F, A♭, C, D}도 F를 베이스로 두면 Fm6, D를 두면 Dm7♭5라는 이름이 됩니다. 해볼 것: I–IV–V7–I이 Cm–Gm–(Fm6 또는 Dm7♭5)–Cm처럼 '플라갈 마이너' 진행이 되는 것을 들어 보세요.

네오리만 변환과 토네츠

19세기 후반 낭만파(바그너, 리스트)의 화음 연결은 기능 화성으로 설명이 잘 안 됩니다. 1980–90년대 데이비드 르윈, 리처드 콘 등은 리만의 아이디어를 되살려 3화음 사이의 세 가지 최소 이동 변환을 정의했습니다. 이것이 네오리만 이론(Neo-Riemannian Theory)입니다.

변환	C 장3화음에서	움직이는 성부	공유음
P (Parallel, 같은 으뜸음 장↔단)	C → Cm	3음 E→E♭ (반음)	C, G (5도)
L (Leittonwechsel, 이끎음 교환)	C → Em	근음 C→B (반음)	E, G (단3도)
R (Relative, 나란한조)	C → Am	5음 G→A (온음)	C, E (장3도)

이 세 변환은 각각 자기 자신의 역(involution)이고, 셋이 생성하는 군은 24개 장·단3화음에 단순 추이적으로 작용하는 정이면체군 $D_{12}$(위수 24)와 동형입니다(Crans, Fiore & Satyendra 2009). 3화음들을 토네츠(Tonnetz)라는 삼각 격자 위의 삼각형으로 그리면, P·L·R은 변을 공유하는 이웃 삼각형으로 뒤집는 것이 됩니다.

$$\text{PL 순환: } C \to Cm \to A\flat \to A\flat m \to E \to Em \to C\ (\text{헥사토닉, 6개}),\qquad \text{PR 순환: } 8\text{개 (옥타토닉)}$$

토네츠 격자에서 가로는 완전5도(+7), 오른쪽 위 대각선은 장3도(+4), 왼쪽 위는 단3도 하행(−3≡+9). PL 순환이 쓰는 음은 6개(헥사토닉 음계 {0,3,4,7,8,11})이고 이런 계(system)가 4개, PR 순환은 8음(옥타토닉)이고 3개다. C → E, C → A♭처럼 같은 성질의 3화음이 장3도로 움직이는 반음계 중음(chromatic mediant) 연결은 영화 음악의 '경이로운' 화음 전환에 즐겨 쓰인다.

SIMULATOR

토네츠 탐색기: P · L · R

변환 (클릭하면 이동하고 연주)

순환 자동 연주

음색

현재 3화음—

마지막 변환—

경로—

격자의 삼각형 하나가 3화음입니다(위로 뾰족 = 장, 아래로 뾰족 = 단). 아무 삼각형이나 클릭하면 그 화음으로 가고, P·L·R 버튼은 변을 공유하는 이웃으로 뒤집습니다. 보라색 선이 지나온 경로이고, 화면은 현재 화음을 중심으로 따라갑니다. '마지막 변환'에는 움직인 성부와 반음 수가 나옵니다 — P·L은 한 성부가 반음, R은 온음. 순환 버튼은 각 변환 쌍을 번갈아 적용해 출발점으로 돌아올 때까지 연주합니다(LR은 24단계).

선율의 재화성

리하모니제이션(Reharmonization)은 선율은 그대로 두고 아래 화음을 바꾸는 작업입니다. 공학적으로는 탐색 문제입니다. 각 구간의 선율 음들에 대해 후보 화음의 적합도를 계산하고, 그 위에서 '흐름'(9장의 전이 문법)과 '색'(이 장의 차용·세컨더리)을 고려해 고릅니다.

$$\mathrm{fit}(c\mid \text{구간}) = \frac{\sum_{n} w_n\,\mathbf{1}[\,p_n \bmod 12 \in c\,]}{\sum_n w_n},\qquad w_n = d_n \cdot \beta_n$$

$p_n$: 구간 안 선율 음, $d_n$: 길이(박), $\beta_n$: 박의 세기(강박 2, 3박 1.5, 약박 1). 강박의 긴 음이 화음 구성음이 아니면 불협이 두드러진다. 약박의 비화성음(경과음·보조음)은 오히려 선율을 매끄럽게 한다.

아래 예는 베토벤 교향곡 9번 '환희의 송가' 주제(1824, 공유 저작물)의 첫 8마디입니다. 반 마디(2박)마다 화음을 고를 수 있습니다.

SIMULATOR

선율 재화성기: 환희의 송가

자동 화성 붙이기

템포 선율 음색 베이스

평균 적합도—

강박 비화성음—

조 밖 화음—

위: 피아노 롤. 선율 음이 그 순간 화음의 구성음이면 보라, 아니면 주황(비화성음)이고, 아래 띠는 화음입니다. 각 칸의 목록은 그 반 마디의 선율에 대한 적합도 순으로 정렬되어 있습니다(괄호 안 %). '색채적'은 적합도 60% 이상인 후보 중 세컨더리 도미넌트·차용 화음·7화음을 우대하고, 다음 칸 화음의 V/x가 되는 후보에 가산점을 줍니다. 해볼 것: 3마디 첫 칸을 C 대신 Am이나 Fmaj7로 바꾸어 같은 선율이 다른 '조명'을 받는 것을 들어 보세요.

핵심 정리

세컨더리 도미넌트 V7/x는 목표 근음의 5도 위 속7화음으로, 목표의 반음 아래에 임시 이끎음을 만든다. 잠깐이면 토니시제이션, 종지로 확정되면 전조다.
모달 인터체인지는 같은 으뜸음의 다른 선법에서 화음을 빌린다(iv, ♭VI, ♭VII, ♭III). 나폴리 ♭II⁶와 증6화음은 그 극단적 형태다.
트라이톤은 $T_6$ 불변이라 V7과 ♭II7이 공유한다. 트라이톤 대리는 베이스를 반음계 하행으로 바꾼다.
감7화음은 $\langle 3\rangle$의 잉여류로 3종류뿐이고, 각각 네 조로 해결된다(이명동음 전조). 콜트레인 체인지는 $\langle 4\rangle$ 위의 조 순환이다.
음수 화성은 반사 $I_{2k+7}$이다. 장↔단이 바뀌고 도미넌트는 서브도미넌트 마이너가 된다.
P·L·R은 한 성부만 반음(P, L) 또는 온음(R) 움직이는 3화음 변환이며, 토네츠에서 이웃 삼각형으로 뒤집기다. 생성하는 군은 $D_{12}$다.
재화성은 선율 음의 박·길이 가중 포함률(적합도)과 진행 문법을 함께 고려하는 탐색 문제다.

확인 퀴즈

F 장조에서 V7/V는?

F 장조의 V는 C. C의 5도 위 속7화음은 G7(G B D F)이고, B(♮)가 C의 임시 이끎음이 된다.

C 장조에서 A♭ 장3화음은 어디서 빌려 온 화음인가?

A♭–C–E♭은 C 자연단음계의 6도 위 화음 ♭VI다. 으뜸음 C를 공유하는 단조에서 빌려 와 ♭3(E♭)과 ♭6(A♭)을 들여온다.

G7의 트라이톤 대리 화음은?

근음을 6반음 옮긴 D♭7(D♭ F A♭ C♭)은 G7과 트라이톤 F–B(=C♭)를 공유한다. 이름상 C♯7도 같은 소리지만 C로 해결하는 문맥에서는 ♭II7, 즉 D♭7로 적는다.

서로 다른 감7화음(피치 클래스 집합)은 모두 몇 개인가?

감7화음은 부분군 ⟨3⟩ = {0,3,6,9}의 잉여류이므로 12/4 = 3개뿐이다.

C 조의 음수 화성(축 I₇)에서 G7은 무엇이 되는가?

7 − x: G→C, B→A♭, D→F, F→D. {C, A♭, F, D} = F A♭ C D = Fm6, 같은 집합을 D부터 읽으면 Dm7♭5. 도미넌트가 서브도미넌트 마이너로 반사된다.

C 장3화음에 L 변환을 적용하면?

L은 근음 C를 반음 내려 B로 바꾸고 E, G를 유지한다: E G B = Em. P는 Cm, R은 Am이다.