Chapter 05

음높이와 조율의 수학

피아노의 건반 12개는 자연이 준 것이 아니라 타협의 산물입니다. 완전 5도(3:2)를 12번 쌓으면 7옥타브(2⁷)로 돌아와야 할 것 같지만, $3^{12}$은 결코 $2^{19}$과 같아질 수 없습니다. 이 작은 어긋남—피타고라스 콤마 23.46센트—을 어디에 숨길지를 두고 2500년 동안 수학자와 음악가가 다퉈 왔습니다. 이 장에서는 음높이를 로그로 재는 법부터 시작해, 여러 조율 체계를 직접 귀로 비교하고, "왜 하필 12음인가"에 연분수로 답합니다.

옥타브 동치와 음높이의 로그 지각을 설명하고, MIDI 번호·센트·주파수를 서로 변환할 수 있다.
5도를 쌓아 만드는 피타고라스 조율과 피타고라스 콤마(531441/524288), 울프 5도를 계산한다.
3과 5의 거듭제곱 격자로 순정률을 표현하고, 신토닉 콤마(81/80)로 인한 '콤마 펌프' 드리프트를 듣는다.
중전음률·웰 템퍼먼트·12평균율이 콤마를 각각 어떻게 나눠 갖는지 센트 표와 맥놀이 속도로 비교한다.
$\log_2(3/2)$의 연분수 수렴분수로 5, 12, 41, 53 등분 평균율이 특별한 이유를 설명한다.
A4 = 440 Hz 표준(ISO 16)의 역사와 연주 피치의 차이가 절대음감에 어떻게 들리는지 안다.

옥타브와 로그 눈금: 음높이는 비율이다

110 Hz와 220 Hz, 220 Hz와 440 Hz. 주파수 차는 110 Hz와 220 Hz로 두 배 다르지만, 귀에는 똑같이 "한 옥타브"로 들립니다. 음높이 지각은 차이가 아니라 비율에 반응합니다. 19세기의 베버–페히너 법칙(Weber–Fechner Law)—감각의 크기는 자극의 로그에 비례한다—의 대표적인 예입니다. 게다가 2:1 비율의 두 음은 '같은 음의 다른 높이'처럼 들리는데, 이것이 옥타브 동치(Octave Equivalence)입니다. 거의 모든 음악 문화가 옥타브 간격의 음을 같은 이름으로 부르며, 2장에서 본 것처럼 두 음의 배음이 거의 전부 겹치기 때문이라고 설명됩니다(짝수 배음 $2n f_0$는 상위 음의 배음과 정확히 일치).

그래서 음높이는 주파수의 밑 2 로그로 재는 것이 자연스럽습니다. 디지털 악기의 표준인 MIDI는 A4 = 440 Hz를 69번으로 두고 반음마다 1씩 올립니다.

$$m = 69 + 12\log_2\frac{f}{440\ \text{Hz}}, \qquad f = 440\cdot 2^{(m-69)/12}, \qquad c = 1200\log_2\frac{f_2}{f_1}$$

$m$: MIDI 노트 번호(실수로 확장하면 미분음도 표현). C4(가온 다) = 60 = 261.63 Hz. $c$: 두 주파수 사이의 센트(cent). 옥타브 = 1200 ¢, 평균율 반음 = 100 ¢. 센트는 곱셈을 덧셈으로 바꾼다: 비율 $r_1 r_2$는 $c_1 + c_2$ 센트.

그림 5-1. 같은 A음 다섯 옥타브(55–1760 Hz)를 선형 주파수 축(위)과 로그 축(아래)에 찍은 것. 선형 축에서는 낮은 옥타브가 왼쪽 끝에 뭉개지지만, 로그 축에서는 옥타브가 등간격—피아노 건반과 오선보가 바로 이 로그 축이다.

로그 지각은 근사일 뿐입니다. 심리 실험에서 "음높이가 두 배로 느껴지는" 주파수를 물어 만든 멜 척도(Mel Scale, Stevens·Volkmann·Newman 1937)는 약 1 kHz 아래에서는 거의 선형, 위에서는 로그에 가깝습니다. 흔히 쓰는 근사식은 $\text{mel} = 2595\log_{10}(1+f/700)$이며, 음성 인식의 MFCC 특징량이 이 척도의 필터뱅크를 씁니다. 하지만 음정(두 음의 관계)은 넓은 음역에서 비율로 지각되므로, 음악 이론은 센트와 로그 축을 씁니다. 음높이 구별 한계(JND)는 중간 음역에서 약 0.2–0.5%, 즉 3–9 ¢ 정도입니다(14장).

SIMULATOR

센트 ↔ 비율 계산기와 음정 듣기

비율 또는 센트 입력

예시

센트 슬라이더 아래 음

음색

비율(소수)—

센트—

가장 가까운 평균율 음정—

겹치는 배음의 맥놀이—

입력: 3/2, 1.5, 3^12/2^19, 2^(7/12) 같은 식은 비율로, 386.3c나 386.3¢처럼 끝에 c/¢를 붙이면 센트로 읽습니다. 위 막대는 0–1200 ¢(필요하면 2400 ¢) 눈금 위의 위치(점선 = 가장 가까운 평균율), 아래는 두 음(배음 6개 톱니형)을 더한 1초 파형입니다. 순정 비율(3/2, 5/4)은 포락선이 평평하지만, '평균율 근사와 비교'의 400 ¢ 장3도는 초당 약 10번 일렁입니다(C4 기준). 해볼 것: 81/80(신토닉 콤마)을 동시에 들으면 C4에서 초당 약 3.3번의 맥놀이가 납니다.

피타고라스 조율: 5도를 쌓으면 닫히지 않는다

배음열에서 옥타브(2:1) 다음으로 단순한 비율은 완전 5도(3:2)입니다. 고대 그리스 이래 가장 오래된 조율법은 5도를 계속 쌓고, 옥타브를 넘으면 2로 나눠 한 옥타브 안에 접어 넣는 것입니다. C → G(3/2) → D(9/8) → A(27/16) → E(81/64) → B(243/128) → F♯ → … 이렇게 12번 쌓으면 다시 C 근처로 돌아오는데, 정확히 C가 아닙니다.

$$\left(\tfrac{3}{2}\right)^{12} \Big/ 2^{7} = \frac{3^{12}}{2^{19}} = \frac{531441}{524288} \approx 1.013643, \qquad 1200\log_2(1.013643) \approx 23.46\ \text{¢}$$

이것이 피타고라스 콤마(Pythagorean Comma). 산술의 기본정리 때문에 $3^a = 2^b$인 양의 정수 $a,b$는 없으므로 5도 쌓기는 영원히 닫히지 않는다. 즉 $\log_2 3$은 무리수다.

그림 5-2. 순정 5도 12개(위, 각 701.96 ¢)와 옥타브 7개(아래, 각 1200 ¢)를 센트 길이로 늘어놓은 것. 위쪽이 23.46 ¢만큼 삐져나온다. 12음 체계에서는 이 23.46 ¢를 5도 12개 어딘가에 나눠 '숨겨야' 원이 닫힌다.

순수한 피타고라스 조율로 건반 12개를 만들면, 11개의 5도는 순정이고 나머지 하나가 콤마만큼 좁은 678.5 ¢가 됩니다(어디에 둘지는 선택이다. 전통적으로는 G♯–E♭, 이 책의 시뮬레이터는 F♯–D♭). 이 5도는 초당 여러 번 일렁이며 늑대 울음처럼 들려 울프 5도(Wolf Fifth)라고 부릅니다. 또 4번 쌓아 만든 장3도 81/64 = 407.8 ¢는 순정 장3도 5/4 = 386.3 ¢보다 21.5 ¢나 넓어서, 3도를 화음으로 쓰기 시작한 중세 말 이후 문제가 됩니다.

SIMULATOR

5도의 나선: 몇 번 쌓아야 거의 닫힐까

쌓은 5도 개수 n

5도의 크기

n번째 음—

옥타브 안 위치—

출발음과의 거리—

맥놀이 (C4 기준)—

각 점은 C에서 5도를 k번 쌓은 음이고, 각도는 옥타브 안 위치(위쪽 = C, 한 바퀴 = 1200 ¢), 반지름은 k입니다. 5도 하나가 7/12바퀴보다 조금 더 돌기 때문에 나선이 됩니다. n = 12에서 출발점과 23.46 ¢ 어긋나고, n = 53에서는 3.6 ¢까지 가까워집니다(그래서 53등분 평균율이 등장합니다, 5절). '평균율'로 바꾸면 n = 12에서 정확히 닫히고, '1/4 콤마'로 바꾸면 반대쪽으로 41 ¢ 모자랍니다. '출발음 vs n번째'는 C4와 n번째 음(옥타브 환원)을 함께 울려 콤마의 맥놀이를 들려줍니다.

순정률: 3과 5의 격자와 신토닉 콤마

르네상스 이후 음악은 3도와 6도를 협화음으로 쓰기 시작했고, 장3화음을 배음 4:5:6 그대로 맞추고 싶어졌습니다. 소수 2, 3, 5의 거듭제곱 곱만으로 만든 비율을 쓰는 조율을 5한계 순정률(5-limit Just Intonation)이라 합니다. 옥타브(2)를 동치로 무시하면 모든 음은 정수 쌍 $(a,b)$로 정해지는 2차원 격자 위의 점입니다.

$$r(a,b) = 3^{a}\,5^{b}\cdot 2^{k}\quad(k\text{는 } 1\le r<2\text{가 되게}),\qquad \frac{(3/2)^4}{2^2\cdot(5/4)} = \frac{81}{80} \approx 21.51\ \text{¢}$$

가로 한 칸 = 완전 5도(×3), 세로 한 칸 = 장3도(×5). 5도 4개로 가는 E(81/64, 피타고라스)와 장3도 하나로 가는 E(5/4, 순정)는 같은 '이름'이지만 81/80만큼 다르다—신토닉 콤마(Syntonic Comma). 피타고라스 콤마와의 차 $23.46-21.51 = 1.95$ ¢는 스키스마(schisma).

문제는 이 격자가 무한하다는 것입니다. 고정된 12음 순정 음계(C=1, D=9/8, E=5/4, F=4/3, G=3/2, A=5/3, B=15/8)를 고르면 C·F·G 장3화음은 완벽하지만, D–A 5도는 40/27 = 680.4 ¢로 울프가 됩니다. 반대로 합창단처럼 매 화음을 순정으로 맞추며 공통음을 유지하면, C–F–Dm–G–C 진행 한 바퀴 뒤에 출발음이 81/80만큼 내려가 있습니다. 이 현상을 콤마 펌프(Comma Pump) 또는 콤마 드리프트라 합니다. 실제 무반주 합창의 음정 하강이 이 때문인지는 연구가 엇갈리지만(가수들은 화음 순정성과 음높이 유지 사이에서 타협한다), 수학적 사실은 분명합니다.

SIMULATOR

순정률 격자와 콤마 펌프

진행 방식

반복 횟수

지금 화음—

마지막 C의 드리프트—

가장 나쁜 5도—

누른 음—

격자의 점을 클릭하면 그 음(C4 = 261.63 Hz 기준, 옥타브 환원)이 울립니다. 가로 = ×3/2(5도), 세로 = ×5/4(장3도). 이름 옆 ↓/↑는 피타고라스 음(같은 이름, 5도만으로 도달)보다 신토닉 콤마만큼 낮음/높음을 뜻합니다(헬름홀츠–엘리스 표기의 변형). 장3화음은 위로 솟은 삼각형, 단3화음은 아래로 처진 삼각형입니다. '공통음 유지'로 진행을 재생하면 화음 경로가 한 바퀴마다 (−4, +1)만큼, 즉 81/80 아래로 미끄러지는 것이 보이고 들립니다. '고정 순정 음계'에서는 Dm의 D–A가 680 ¢ 울프 5도(빨간 삼각형)가 됩니다. 음색: 오르간(배음 포함) — 순정 화음은 맥놀이가 거의 없어 '정지한' 소리입니다.

템퍼먼트: 콤마를 나눠 갖는 법

12개 건반으로 고정된 악기(오르간, 하프시코드)에서는 어떤 음정을 일부러 순정에서 조금 틀어(템퍼(Temper)) 오차를 분산해야 합니다. 역사적으로 중요한 세 가지 해법은 다음과 같습니다.

1/4 콤마 중전음률(Quarter-comma Meantone, 16–17세기): 5도를 신토닉 콤마의 1/4씩 좁혀 $701.955 - 21.506/4 = 696.578$ ¢로 만든다. 그러면 5도 4개 − 2옥타브 = 386.31 ¢로 장3도가 정확히 순정. 대가로 남은 한 5도(전통적으로 G♯–E♭, 시뮬레이터에서는 F♯–D♭)는 $8400 - 11\times696.578 = 737.6$ ¢의 거대한 울프가 되고, 조표가 많은 조는 쓸 수 없다.
웰 템퍼먼트(Well Temperament, 17세기 말–18세기): 모든 조를 쓸 수 있게 하되 조마다 성격이 다르게. 베르크마이스터 III(1691)은 C–G, G–D, D–A, B–F♯ 네 5도만 피타고라스 콤마의 1/4(−5.87 ¢)씩 좁히고 나머지 8개는 순정으로 둔다. C 장조 근처는 3도가 순정에 가깝고, 먼 조는 피타고라스에 가깝다. 바흐의 「평균율 클라비어 곡집」(Das Wohltemperierte Klavier)의 '평균율'은 사실 이런 '잘 조율된'에 가깝다.
12평균율(12-TET, 19세기 이후 표준): 옥타브를 $2^{1/12}$로 12등분. 피타고라스 콤마를 12개 5도에 똑같이 나눠 5도는 $-23.46/12 = -1.955$ ¢. 모든 조가 동등하지만, 장3도는 +13.69 ¢, 단3도는 −15.64 ¢나 순정에서 벗어난다.

조율	C–G 5도	C–E 장3도	가장 나쁜 5도	가장 나쁜 장3도	성격
순정 비율(참고)	701.96	386.31	—	—	3:2, 5:4
피타고라스	701.96	407.82	678.49	407.82	5도 순정, 3도 거침
5한계 순정(C 기준)	701.96	386.31	680.45 (D–A 등)	427.37	으뜸조만 완벽
1/4 콤마 중전음률	696.58	386.31	737.64	427.37	3도 순정, 울프 큼
베르크마이스터 III	696.09	390.22	696.09	407.82	모든 조 사용, 조성 색깔
12평균율	700.00	400.00	700.00	400.00	모두 동등하게 약간 틀림

템퍼링의 결과는 맥놀이로 들립니다. 두 음의 가까운 배음 쌍이 조금 어긋나면 그 차 주파수로 소리가 일렁입니다(1장). 근음 $f_1$, 3음 $f_3$, 5음 $f_5$에 대해

$$b_{\text{5도}} = \lvert 3f_1 - 2f_5\rvert,\qquad b_{\text{장3도}} = \lvert 5f_1 - 4f_3\rvert$$

평균율 C4–G4: $3\times261.63 - 2\times392.00 = 0.89$ Hz(약 1초에 한 번). 평균율 C4–E4: $\lvert5\times261.63-4\times329.63\rvert = 10.4$ Hz(빠른 떨림). 조율사는 바로 이 맥놀이 속도를 세며 피아노를 조율한다.

SIMULATOR

조율 체계 비교기: 같은 화음, 다른 조율

조율 체계 조율 기준음(이 음이 순정의 중심) 연주할 조(장조)

음색

I 화음 장3도—

I 화음 5도—

장3도 맥놀이—

5도 맥놀이—

위 막대: 기준음에서 각 음이 평균율보다 몇 센트 높은지/낮은지. 아래 두 줄: 5도권 순서로 12개 5도와 12개 장3도가 순정에서 얼마나 벗어났는지(초록 = 순정에 가까움, 빨강 = 크게 벗어남, 굵은 테두리 = 연주 조의 I·IV·V). 건반(A–K 키 포함)도 선택한 조율로 울립니다. 해볼 것: ① 1/4 콤마 중전음률·기준 C에서 C 장조 I 화음 → 맥놀이 없는 3도. 그대로 연주 조만 F♯로 바꾸면 울프 때문에 끔찍해집니다. ② 베르크마이스터 III에서 C 장조와 D♭ 장조의 장3도 맥놀이 비교 → 조성 색깔. ③ 평균율은 모든 조에서 3도 맥놀이가 같은 비율입니다. 맥놀이 값은 근음을 C4–B4 옥타브에 둔 경우입니다.

왜 12음인가: 연분수가 주는 답

옥타브를 $N$등분한 평균율($N$-EDO, Equal Division of the Octave)에서 5도에 가장 가까운 음은 $k = \operatorname{round}(N\log_2 1.5)$ 스텝입니다. 5도를 잘 근사하려면 $k/N$이 $\log_2(3/2) = 0.5849625\ldots$에 가까워야 합니다. 무리수를 작은 분모의 분수로 가장 잘 근사하는 방법이 연분수(Continued Fraction)입니다.

$$\log_2\frac{3}{2} = 0 + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5+\cdots}}}}}}}\ \Rightarrow\ \frac{1}{2},\ \frac{3}{5},\ \frac{7}{12},\ \frac{24}{41},\ \frac{31}{53},\ \frac{179}{306},\ \ldots$$

수렴분수 $k/N$의 분모 $N$이 '좋은' 옥타브 분할 수, 분자 $k$가 5도의 스텝 수. 수렴분수는 $\lvert \log_2 1.5 - k/N\rvert < 1/N^2$을 만족하는, 분모 이하의 최선 근사다. 이 분모에는 5·12·41·53이 있지만 7은 없다. 4/7은 중간 수렴분수다. 5도 사슬에서 고른 7음 온음계와 옥타브를 균등하게 나눈 7-EDO는 다른 구성이다.

N-EDO	스텝(¢)	5도 오차	장3도 오차	7:4 오차	비고
12	100.0	−1.96	+13.69	+31.17	표준. 5도가 아주 좋고 3도는 그럭저럭
19	63.2	−7.22	−7.37	−21.5	3도·6도가 좋다. 1/3 콤마 중전음률과 비슷
24	50.0	−1.96	+13.69	−18.83	사분음. 아랍 음악 이론, 11:8(551.3 ¢ ≈ 550)
31	38.7	−5.18	+0.78	−1.08	호이겐스·포커르. 1/4 콤마 중전음률과 거의 같다
41	29.3	+0.48	−5.83	−2.97	수렴분수
53	22.6	−0.07	−1.41	+4.76	메르카토르·홀더. 5도·3도 모두 거의 순정

SIMULATOR

N등분 평균율 탐색기

옥타브 분할 수 N

7:4(화성 7도) 오차도 보기

1스텝—

최선 5도—

최선 장3도—

7:4—

위 그래프: N마다 최선 5도(보라)와 최선 장3도(청록)의 절대 오차(¢). 계곡이 깊은 N일수록 좋은 분할이며, 연분수 수렴분수(5, 12, 41, 53)가 5도 곡선의 계곡에 있습니다. 아래 원: 한 옥타브를 N칸으로 나눈 것과 순정 3/2(보라 삼각형)·5/4(청록 삼각형)의 위치. 장음계는 5도 생성으로 만듭니다: F C G D A E B = −1…5개의 5도(N이 작으면 음이 겹치거나 순서가 꼬입니다 — 그것도 답입니다). 19나 31로 장3화음을 듣고 12와 비교해 보세요. 기준음 C4.

12는 왜 '충분히' 좋은가 12-EDO의 5도 오차 −1.96 ¢는 대부분 사람의 음높이 JND보다 작고, 5도 맥놀이는 중간 음역에서 1초에 한 번 정도로 느리다. 반면 3도 오차 +13.7 ¢는 분명히 들리지만, 비브라토와 음색, 그리고 수백 년의 청취 습관이 이를 가린다. 12는 '5도를 거의 완벽하게, 3도를 견딜 만하게, 건반을 손 크기에 맞게'라는 세 조건을 동시에 만족하는 가장 작은 N이다.

A4 = 440 Hz: 표준 음높이의 역사

센트와 비율은 상대 음높이입니다. 절대 기준은 별개의 약속입니다. 17–18세기 유럽에는 도시·교회·악기마다 다른 기준이 있어, 같은 'A'가 약 390 Hz(프랑스 바로크 오페라)부터 460 Hz 이상(베네치아 등의 관악기 피치)까지 걸쳤습니다. 헨델이 쓰던 소리굽쇠(1751)는 422.5 Hz였다고 전합니다. 19세기에는 악기 소리를 더 화려하게 하려는 경쟁으로 피치가 계속 올라가(피치 인플레이션), 런던의 '구 필하모닉 피치'는 452.5 Hz에 이르렀습니다. 성악가의 부담을 줄이려고 프랑스 정부는 1859년 A = 435 Hz(diapason normal)를 법으로 정했습니다.

1834년 슈투트가르트 회의에서 셰이블러가 440 Hz를 제안한 이래, 1939년 런던 국제회의가 A4 = 440 Hz를 채택했고, 1955년 ISO 16으로 표준화되었습니다(현행 ISO 16:1975). 오늘날 바로크 시대 악기 연주는 관행적으로 A = 415 Hz(440보다 거의 정확히 평균율 반음 아래: $440\cdot2^{-1/12} = 415.3$)를 쓰고, 많은 유럽 오케스트라는 밝은 소리를 위해 442–443 Hz로 조율합니다. 인터넷에 도는 "432 Hz가 우주의 진동수와 맞다"는 주장에는 물리적·생리적 근거가 없습니다—Hz라는 단위 자체가 '초'라는 인간의 약속에 묶여 있다는 점만 생각해도 그렇습니다.

$$\Delta c = 1200\log_2\frac{A_{\text{new}}}{440},\qquad 442\ \text{Hz} \to +7.85\ \text{¢},\quad 415\ \text{Hz} \to -101.3\ \text{¢},\quad 432\ \text{Hz}\to -31.8\ \text{¢}$$

기준을 바꾸면 모든 음이 같은 센트만큼 이동한다(음정 관계는 그대로). 절대음감을 가진 사람은 이 이동을 '음이 틀렸다'로 지각하며, 415 Hz 바로크 연주는 악보와 반음 다른 이름으로 들린다.

SIMULATOR

연주 피치 슬라이더: 같은 선율, 다른 A

A4 기준

음색

A4—

440 Hz 대비—

절대음감(440 기준)이 듣는 'A'—

이 기준의 C4—

위 눈금: 400–480 Hz 로그 축 위의 역사적 A 값들과 440 기준 평균율 G♯4·A4·A♯4. 건반은 선택한 기준으로 조율되어 울립니다(A–K 키 포함). 선율은 베토벤 교향곡 9번 4악장 주제(1824, 공유 저작물)의 첫 악구, D 장조. 415로 바꿔 들으면 상대음감에는 같은 선율이지만, 절대음감에는 D♭ 장조로 들립니다. 숫자는 문헌에 따라 ±1–2 Hz 차이가 있는 대표값입니다.

핵심 정리

음높이는 주파수의 로그로 지각된다. $m = 69 + 12\log_2(f/440)$, 센트 $=1200\log_2 r$. 옥타브(2:1)는 같은 음으로 들린다.
순정 5도 12개는 7옥타브보다 피타고라스 콤마 $3^{12}/2^{19}$ = 23.46 ¢ 크다. $\log_2 3$이 무리수이므로 5도 쌓기는 닫히지 않는다.
5한계 순정률은 3과 5의 2차원 격자다. 같은 이름의 음이 신토닉 콤마 81/80 = 21.51 ¢만큼 다른 두 점에 있어, 엄격한 순정 진행은 콤마 펌프로 드리프트하거나 울프 5도(680 ¢)를 만든다.
템퍼먼트는 콤마를 나누는 방법이다: 1/4 콤마 중전음률(5도 696.58 ¢, 3도 순정, 울프 737.6 ¢), 베르크마이스터 III(조성 색깔), 12평균율(5도 −1.96 ¢, 장3도 +13.69 ¢, 모든 조 동등).
템퍼링은 맥놀이로 들린다: $\lvert3f_1-2f_5\rvert$, $\lvert5f_1-4f_3\rvert$. 평균율 C4 장3도는 약 10.4 Hz로 떨린다.
$\log_2(3/2)$의 연분수 수렴분수 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53이 좋은 옥타브 분할 수를 준다. 12는 5도를 거의 완벽히 맞추는 가장 작은 실용적 N이다.
절대 기준 A4 = 440 Hz(ISO 16)는 19세기 피치 인플레이션 끝의 약속이다. 바로크 415 Hz는 약 −1반음, 많은 오케스트라는 442–443 Hz.

확인 퀴즈

주파수 330 Hz의 MIDI 번호(실수)에 가장 가까운 것은? (A4 = 440 Hz)

$69 + 12\log_2(330/440) = 69 + 12\times(-0.41504) = 64.02$. E4(64)보다 약 2센트 높다—A4(440)의 순정 4도 아래(3/4)이기 때문이다(평균율 4도보다 1.96 ¢ 좁음).

피타고라스 콤마를 비율로 바르게 쓴 것은?

5도 12개 $(3/2)^{12}$를 7옥타브 $2^7$로 나누면 $3^{12}/2^{19} = 531441/524288$ ≈ 23.46 ¢. 81/80은 신토닉 콤마, $2/(5/4)^3 = 128/125$(41.06 ¢)는 디에시스(장3도 셋이 옥타브에 모자란 양)다.

1/4 콤마 중전음률에서 장3도가 정확히 순정(5/4)이 되는 이유는?

피타고라스 장3도 81/64는 5/4보다 신토닉 콤마(81/80)만큼 넓다. 5도 4개로 만들어지므로 각 5도를 콤마의 1/4씩 좁히면 정확히 81/80이 빠져 5/4가 된다: $4\times696.578-2400 = 386.31$ ¢.

평균율에서 C4(261.63 Hz)–G4(392.00 Hz) 완전 5도의 맥놀이 속도는 약?

가까운 배음 쌍은 C의 3배음(784.9 Hz)과 G의 2배음(784.0 Hz). 차이 ≈ 0.89 Hz. 10.4 Hz는 평균율 장3도(C의 5배음 vs E의 4배음)의 맥놀이다.

다음 중 $\log_2(3/2)$의 연분수 수렴분수의 분모가 아닌 것은?

수렴분수는 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53, 179/306…. 19-EDO는 5도(−7.2 ¢)보다 장3도(−7.4 ¢)와 단3도(+0.1 ¢)가 좋은 분할로, 5도 근사의 수렴분수가 아니다(5도 기준으로는 중간 분수 11/19).

바로크 연주 관행인 A = 415 Hz로 조율한 악기로 '악보상 D 장조' 곡을 연주하면, A = 440 기준의 절대음감자는 대략 어떤 조로 듣는가?

$1200\log_2(415/440) = -101.3$ ¢ ≈ 평균율 반음 하나 아래. 모든 음이 반음 내려가므로 D 장조가 D♭ 장조로 들린다(약 1 ¢ 더 낮게).